La Hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes y aún no probadas en matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de números. Propuesta por el matemático alemán Bernhard Riemann en 1859, se refiere a los ceros de la función zeta de Riemann.
La función zeta de Riemann, denotada por ζ(s), es una función de una variable compleja s=σ+it, donde σ e t son números reales. Para valores de s con parte real mayor que 1 (σ>1), la función se define mediante la serie infinita:
ζ(s)=n=1∑∞ns1=1s1+2s1+3s1+⋯
Esta función puede extenderse a todo el plano complejo, excepto en el punto s=1, donde tiene un polo.
La función zeta de Riemann tiene lo que se conocen como ceros triviales, que son los números enteros pares negativos: -2, -4, -6, y así sucesivamente. Estos puntos hacen que la función zeta sea cero de una manera relativamente sencilla de entender.
Sin embargo, existen otros ceros, llamados ceros no triviales, que son mucho más misteriosos. Se sabe que todos estos ceros no triviales se encuentran en una región del plano complejo llamada la banda crítica, definida por 0<σ<1.
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La Hipótesis de Riemann postula que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real igual a 1/2. Es decir, si s=σ+it es un cero no trivial, entonces la hipótesis afirma que σ=1/2. Estos ceros estarían alineados en la línea crítica en el plano complejo.
La importancia de la Hipótesis de Riemann radica en su profunda conexión con la distribución de los números primos. Si la hipótesis fuera cierta, implicaría resultados muy precisos sobre cómo se distribuyen los números primos entre los enteros positivos.
A pesar de los enormes esfuerzos de matemáticos durante más de un siglo, la Hipótesis de Riemann sigue sin ser demostrada ni refutada. Es uno de los siete Problemas del Milenio establecidos por el Clay Mathematics Institute, con una recompensa de un millón de dólares para quien logre resolverla. Su resolución tendría un impacto significativo en diversas áreas de las matemáticas.
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